Exhaustive Search

Exhaustive Search

Terminologi lain yang terkait erat dengan brute force adalah exhaustive search. Baik brute force maupun exhaustive search sering dianggap dua istilah yang sama, padahal dari jenis masalah yang dipecahkan ada sedikit perbedaan.

Exhaustive search adalah teknik pencarian solusi secara brute force pada masalah yang melibatkan pencarian elemen dengan sifat khusus, biasanya di antara objek-objek kombinatorik seperti permutasi, kombinasi, atau himpunan bagian dari sebuah himpunan. Berdasarkan definisi ini, maka exhaustive search adalah brute force juga.

Metode exhaustive search dapat dirumuskan langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Enumerasi (list) setiap solusi yang mungkin dengan cara yang sistematis.
2. Evaluasi setiap kemungkinan solusi satu per satu, mungkin saja beberapa kemungkinan solusi yang tidak layak dikeluarkan, dan simpan solusi terbaik yang ditemukan sampai sejauh ini (the best solusi found so far).
3. Bila pencarian berakhir, umumkan solusi terbaik (the winner)

Jelaskah bahwa algoritma exhaustive search memeriksa secara sistematis setiap kemungkinan solusi satu per satu dalam pencarian solusinya. Meskipun algoritma exhaustive secara teoritis menghasilkan solusi, namun waktu atau sumberdaya yang dibutuhkan dalam pencarian solusinya sangat besar.

Di dalam beberapa literatur strategi algoritmik, contoh masalah yang sering diasosiasikan dengan  exhaustive search atau brute force adalah masalah Travelling Salesperson Problem (TSP).  Masalah TSP sudah pernah dibahas dalam kuliah Matematika Diskrit pada pokok bahasan Graf.  Untuk mengingat kembali masalah TSP ini, berikut diulang kembali deskripsi masalahnya.

TSP: diberikan n buah kota serta diketahui jarak antara setiap kota satu sama lain. Temukan perjalanan (tour) terpendek yang melalui setiap kota lainnya hanya sekali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

Jika setiap kota direpresentasikan dengan simpul dan jalan yang menghubungkan antar kota sebagai sisi, maka persoalan TSP ini dimodelkan dengan graf lengkap dengan n buah simpul. Bobot pada setiap sisi menyatakan jarak antar setiap kota. Persoalan TSP tidak lain adalah menemukan sirkuit Hamilton dengan bobot minimum.

Algoritma exhaustive search untuk persoalan TSP ini adalah:
1. Enumerasikan (list) semua sirkuit Hamilton dari graf lengkap dengan n buah simpul.
2. Hitung (evaluasi) bobot setiap sirkuit Hamilton yang ditemukan pada langkah 1.
3. Pilih sirkuit Hamilton yang mempunyai bobot terkecil.

Contoh: n = 4

Untuk 4 kota, terdapat 6 buah kemungkinan rute perjalanan (atau sirkuit Hamilton). Rute perjalananan terpendek adalah acbda atau adbca dengan bobot = 32. 

Karena perjalanan berawal dan berakhir pada simpul yang sama, maka untuk n buah simpul semua rute perjalanan yang mungkin dibangkitkan dengan permutasi dari n – 1 buah simpul. Permutasi dari n – 1 buah simpul adalah (n – 1)!. Pada contoh di atas, untuk n = 6 akan terdapat

(4 – 1)! = 3! = 6

buah rute perjalanan. 

Jika persoalan TSP diselesaikan dengan metode exhaustive search, maka kita harus mengenumerasi sebanyak (n – 1)! buah sirkuit  Hamilton, menghitung setiap bobotnya, dan memilih sirkuit Hamilton dengan bobot terkecil. Untuk menghitung bobot setiap sirkuit Hamilton dibutuhkan waktu O(n), maka kompleksitas waktu algoritma exhaustive search untuk persoalan TSP sebanding dengan (n – 1)! dikali dengan waktu untuk menghitung bobot setiap sirkuit Hamilton. Dengan kata lain, kompleksitas waktu algoritma exhaustive search untuk persoalan TSP adalah O(n  n!). 

Kita dapat menghemat jumlah komputasi dengan mengamati bahwa setengah dari rute perjalanan adalah hasil pencerminan dari setengah rute yang lain, yakni dengan mengubah arah rute perjalanan

1 dan 6

2 dan 4

3 dan 5

maka dapat dihilangkan setengah dari jumlah permutasi (dari 6 menjadi 3). Ketiga buah sirkuit Hamilton yang dihasilkan adalah seperti gambar di bawah ini:

Dengan demikian, untuk graf dengan n buah simpul, kita hanya perlu mengevaluasi sirkuit Hamilton sebanyak (n – 1)!/2. 

Jelaslah bahwa kebutuhan waktu algoritma exhaustive search adalah dalam orde ekponensial. Algoritma ini hanya bagus untuk ukuran masukan (n) yang kecil sebab bebutuhan waktunya masih realistis. Untuk ukuran  masukan yang besar, algoritma exhaustive search menjadi sangat tidak mangkus. Pada persoalan TSP misalnya, untuk jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 = 6  1016 sirkuit Hamilton yang harus dievaluasi satu per satu.  Sayangnya, untuk persoalan TSP tidak ada algoritma lain yang lebih baik daripada algoritam exhaustive search. Jika anda dapat menemukan algoritma yang mangkus untuk TSP, anda akan menjadi terkenal dan kaya! Algoritma yang mangkus selalu mempunyai kompleksitas waktu dalam orde polinomial.

Exhaustive search sering disebut-sebut di dalam bidang kriptografi, yaitu sebagai teknik yang digunakan penyerang untuk menemukan knci enkripsi dengan cara mencoba semua kemungkinan kunci.  Serangan semacam ini dikenal dengan nama exhaustive ke search attack atau brute force attack. Misalnya pada algoritma kriptografi DES (Data Encryption Standard), panjang kunci enkripsi  adalah 64 bit (atau setara dengan 8 karakter). Dari 64 bit tersebut, hanya 56 bit yang digunakan (8 bit paritas lainnya tidak dipakai). Karena ada 56 posisi pengisian bit yang masing-masing memiliki dua kemungkinan nilai, 0 atau 1, maka jumlah kombinasi kunci yang harus dievaluasi oleh pihak lawan adalah sebanyak

(2)(2)(2)(2)(2) … (2)(2) (sebanyak 56 kali)= 256 = 7.205.759.403.7927.936

buah.

Meskipun algoritma exhaustive search tidak mangkus, namun nilai plusnya terletak pada keberhasilannya yang selalu menemukan solusi (jika diberikan waktu yang cukup).